Você entra em uma sala cheia de desconhecidos e, após algumas perguntas sobre signos e origens, descobre que duas pessoas fazem aniversário no mesmo dia. Parece uma coincidência rara, mas a matemática mostra que não é preciso um grupo enorme para que isso ocorra. Em um local com pelo menos 23 pessoas, a probabilidade de duas terem nascido no mesmo dia é superior a 50%. Em um ambiente com 50 pessoas, a chance sobe para 97%. Esse fenômeno não é obra do destino, mas sim puramente probabilidade, conhecido como paradoxo do aniversário.
O que é o paradoxo do aniversário?
O paradoxo do aniversário é um dos mais famosos da Matemática e estabelece que a chance de duas pessoas compartilharem a mesma data de nascimento está diretamente ligada ao número de pares possíveis dentro do grupo, e não ao número total de indivíduos. "O ponto importante é que não estamos perguntando se alguém faz aniversário no mesmo dia que você, mas sim se existe qualquer par de pessoas com aniversários coincidentes", explica Rodney Luzio, coordenador do Curso Anglo. Marco Moriconi, professor de matemática e integrante do Comitê de Provas da Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas (OBMEP), acrescenta que, uma vez que não se trata de um par específico, mas de um par possível, à medida que o número de duplas cresce, fica cada vez mais provável uma coincidência.
Como a probabilidade é calculada?
Para entender o cálculo, primeiro calcula-se a probabilidade de todos fazerem aniversário em dias diferentes, supondo um ano de 365 dias e distribuição uniforme dos aniversários: P(todos diferentes) = (365/365) × (364/365) × (363/365) × ... × (343/365). "Note que a primeira pessoa pode fazer aniversário em qualquer dia, logo temos 365 chances; a segunda possui 364; a terceira, 363... até a 23ª pessoa que possui 343 dias possíveis para fazer aniversário", analisa Luzio. Esse produto vale aproximadamente 0,4927. A partir disso, subtrai-se de 1 (100%) para obter a probabilidade complementar: P(pelo menos dois iguais) = 1 − 0,4927 = 0,5073, ou 50,73%. A razão para esse resultado é que, entre 23 pessoas, existem C(23,2) = 253 pares possíveis de comparação. "Com 366 pessoas numa sala, por exemplo, teríamos certeza de que essa coincidência acontece. Mas com 50 já há uma probabilidade muito alta, justamente pelo número de pares", comenta Moriconi.
E para uma data específica?
Se for considerada uma data específica – por exemplo, o seu aniversário – a situação muda completamente. Nesse caso, não se procura uma coincidência qualquer, mas sim indivíduos que tenham nascido em um dia específico. "Para uma data específica, o grupo tem que ser perto de 250 pessoas, o que é surpreendentemente alto, mas justamente pela restrição imposta na probabilidade", compara Moriconi. A conta é diferente: cada uma das 22 pessoas possui probabilidade de 1/365 de fazer aniversário exatamente nesse dia. A probabilidade de ninguém compartilhar essa data é (364/365)²², logo P(alguém faz aniversário no meu dia) = 1 − (364/365)²² ≈ 5,85%. "Comparando os dois casos, é importante notar que a nossa intuição costuma falhar em problemas de probabilidade: o cérebro tende a pensar em uma data específica, quando o paradoxo considera todas as possíveis coincidências entre todos os pares de pessoas", afirma o professor.
Impacto do paradoxo no cotidiano
Esse conceito matemático é frequentemente testado em vestibulares e no Exame Nacional do Ensino Médio (Enem), mas também viralizou nas redes sociais por explicar algo contraintuitivo. Quanto maior o número de pares, maior a chance de ocorrer pelo menos uma coincidência. Com 57 pessoas, a probabilidade chega a 99%, aproximadamente. Assim, o paradoxo do aniversário demonstra como a probabilidade pode surpreender nosso senso comum.
